离散型灰色预测模型的无偏性与自适应性及其应用

doi:10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2022.1937

摘要/Abstract

摘要：

无偏性与自适应性是灰色预测模型的两个重要性质，是研究模型结构及性能的基础。首先，文章以矩阵为工具，从理论上严格证明了两类常见离散灰色预测模型的无偏性。结果表明：双参数离散灰色预测模型DGM（1，1）仅对齐次指数序列具有无偏性，而三参数离散灰色预测模型TDGM（1，1）则对齐次指数/非齐次指数/线性函数序列均具有无偏性。然后，从模型结构角度对TDGM（1，1）模型面向不同特征序列的自适应性进行了分析，验证了模型结构自适应性与无偏性之间的内在联系。最后，应用TDGM（1，1）模型对世界新能源汽车销售量进行建模，并对预测结果进行了比较和分析。本研究对丰富和完善灰色预测理论具有积极意义。

关键词: 离散型灰色预测模型, 模型无偏性, 模型自适应性, 世界新能源汽车销量预测

Abstract:

Unbiasedness and self-adaptability are two important properties of grey prediction model and the basis of studying the structure and performance of the model. The existing studies have mostly verified unbiased from the perspective of examples， without strict mathematical proof， and less analysis of the relationship between unbiased and adaptive. Firstly， using matrix theory， the unbiasedness of two kinds of common discrete grey prediction models is strictly proved in theory and verified by homogeneous index/nonhomogeneous index/linear function sequence. The results show that the two parameter discrete grey prediction model DGM（1，1） is unbiased only for the homogeneous exponential sequence， while the three parameter discrete grey prediction model TDGM（1，1） is unbiased for the exponential/non-homogeneous exponential/linear function sequence. Then， the adaptability of TDGM（1，1） to different feature sequences is analyzed from the perspective of model structure， and the internal relationship between self-adaptability and unbiased of model structure is verified. Finally， the TDGM（1，1） model is applied to forecast the world sales of new energy vehicles， and the prediction results are compared and analyzed. This study has positive significance for enriching and perfecting the grey prediction theory.

Key words: discrete grey prediction model, unbiasedness, self-adaptability, prediction of world sales of new energy vehicles

中图分类号:

N941.5

李树良,杨爽艺,曾波,孟伟,白云. 离散型灰色预测模型的无偏性与自适应性及其应用[J]. 中国管理科学, 2024, 32(8): 149-158.

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图/表 13

图1

表1

齐次指数序列的无偏性模拟结果"

$k$	$x 0 k$	TDGM(1,1)		DGM(1,1)		GM(1,1)		NGM(1,1,k)
$k$	$x 0 k$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$
$k = 1$	1.08	—	—	—	—	—	—	—	—
$k = 2$	1.94	1.94	0.00	1.94	0.00	1.87	3.65	1.13	41.71
$k = 3$	3.50	3.50	0.00	3.50	0.00	3.32	5.21	2.21	36.79
$k = 4$	6.30	6.30	0.00	6.30	0.00	5.87	6.75	4.12	34.64
$k = 5$	11.34	11.34	0.00	11.34	0.00	10.40	8.26	7.48	34.00
$k = 6$	20.41	20.41	0.00	20.41	0.00	18.42	9.75	13.43	34.21
$k = 7$	36.73	36.73	0.00	36.73	0.00	32.61	11.22	23.93	34.86
$k = 8$	66.12	66.12	0.00	66.12	0.00	57.75	12.66	42.48	35.76
$k = 9$	119.02	119.02	0.00	119.02	0.00	102.26	14.08	75.24	36.78
$k = 10$	214.23	214.23	0.00	214.23	0.00	181.09	15.47	133.11	37.87
$Δ ˉ 1$			0.00		0.00		9.67		36.29
$k = 11$	385.61	385.61	0.00	385.61	0.00	320.67	16.84	235.33	38.97
$k = 12$	694.10	694.10	0.00	694.10	0.00	567.84	18.19	415.88	40.08
$k = 13$	1249.38	1249.38	0.00	1249.38	0.00	1005.50	19.52	734.82	41.19
$k = 14$	2248.88	2248.88	0.00	2248.88	0.00	1780.60	20.82	1298.20	42.28
$k = 15$	4047.98	4047.98	0.00	4047.98	0.00	3153.10	22.11	2293.30	43.35
$Δ ˉ 2$			0.00		0.00		19.50		41.17
$Δ ˉ$			0.00		0.00		13.18		38.03

表1

表2

非齐次指数序列的无偏性模拟结果"

$k$	$x 0 k$	TDGM(1,1)		DGM(1,1)		GM(1,1)		NGM(1,1,k)
$k$	$x 0 k$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$
$k = 1$	4.38	—	—	—	—	—	—	—	—
$k = 2$	5.05	5.05	0.00	3.78	25.17	3.74	25.89	2.06	59.18
$k = 3$	5.99	5.99	0.00	4.98	16.88	4.93	17.80	3.20	46.63
$k = 4$	7.31	7.31	0.00	6.56	10.21	6.48	11.34	4.66	36.24
$k = 5$	9.15	9.15	0.00	8.65	5.52	8.53	6.85	6.54	28.53
$k = 6$	11.74	11.74	0.00	11.40	2.89	11.22	4.41	8.96	23.62
$k = 7$	15.35	15.35	0.00	15.02	2.17	14.76	3.85	12.08	21.31
$k = 8$	20.41	20.41	0.00	19.79	3.05	19.42	4.86	16.09	21.18
$k = 9$	27.49	27.49	0.00	26.07	5.16	25.55	7.08	21.25	22.72
$k = 10$	37.41	37.41	0.00	34.36	8.16	33.61	10.16	27.89	25.46
$Δ ˉ 1$			0.00		8.80		10.25		31.65
$k = 11$	51.29	51.29	0.00	45.27	11.74	13.80	10.25	36.43	28.98
$k = 12$	70.73	70.73	0.00	59.66	15.66	17.76	13.80	47.42	32.96
$k = 13$	97.95	97.95	0.00	78.61	19.74	21.86	17.76	61.57	37.14
$k = 14$	136.04	136.04	0.00	103.58	23.86	25.99	21.86	79.77	41.37
$k = 15$	189.38	189.38	0.00	136.49	27.93	30.05	25.99	103.19	45.51
$Δ ˉ 2$			0.00		19.79		21.89		37.19
$Δ ˉ$			0.00		12.72		14.41		33.63

表2

表3

线性函数序列的无偏性模拟结果"

$k$	$x 0 k$	TDGM(1,1)		DGM(1,1)		GM(1,1)		NGM(1,1,k)
$k$	$x 0 k$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$	$x ? k$	$Δ k k / %$
$k = 1$	4.80	—	—	—	—	—	—	—	—
$k = 2$	8.40	8.40	0.00	11.70	39.27	11.64	38.60	5.93	8.40
$k = 3$	12.00	12.00	0.00	13.63	13.59	13.57	13.06	9.83	12.00
$k = 4$	15.60	15.60	0.00	15.88	1.82	15.81	1.35	13.67	15.60
$k = 5$	19.20	19.20	0.00	18.51	3.61	18.42	4.04	17.43	19.20
$k = 6$	22.80	22.80	0.00	21.56	5.42	21.47	5.84	21.13	22.80
$k = 7$	26.40	26.40	0.00	25.13	4.82	25.02	5.23	24.76	26.40
$k = 8$	30.00	30.00	0.00	29.28	2.41	29.16	2.82	28.32	30.00
$k = 9$	33.60	33.60	0.00	34.11	1.53	33.98	1.12	31.83	33.60
$k = 10$	37.20	37.20	0.00	39.75	6.85	39.59	6.43	35.27	37.20
$Δ ˉ 1$			0.00		8.81		8.72		10.96
$k = 11$	40.80	0.00	46.32	13.52	46.14	13.08	38.65	40.80	0.00
$k = 12$	44.40	0.00	53.97	21.55	53.77	21.09	41.96	44.40	0.00
$k = 13$	48.00	0.00	62.88	31.01	62.65	30.53	45.22	48.00	0.00
$k = 14$	51.60	0.00	73.27	42.00	73.01	41.50	48.43	51.60	0.00
$k = 15$	55.20	0.00	85.38	54.67	85.08	54.14	51.57	55.20	0.00
$Δ ˉ 2$			0.00		32.55		32.07		5.86
$Δ ˉ$			0.00		17.29		17.06		9.14

表3

表4

TDGM（1，1）、DGM（1，1）、GM（1，1）及NGM（1，1，k）模型对不同序列的模拟效果比对"

典型数据序列	齐次指数序列			非齐次指数序列			线性函数序列
典型数据序列	$Δ ˉ 1$ (%)	$Δ ˉ 2$ (%)	$Δ ˉ$ (%)	$Δ ˉ 1$ (%)	$Δ ˉ 2$ (%)	$Δ ˉ$ (%)	$Δ ˉ 1$ (%)	$Δ ˉ 2$ (%)	$Δ ˉ$ (%)
TDGM(1,1)	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
DGM(1,1)	0.00	0.00	0.00	8.80	19.79	12.72	8.81	32.55	17.29
GM(1,1)	9.67	19.50	13.18	10.25	21.89	14.41	8.72	32.07	17.06
NGM(1,1,k)	36.29	41.17	38.03	31.65	37.19	33.63	10.96	5.86	9.14

表4

表5

图2

表6

序列X0的TDGM（1，1）模型的参数值"

参数	$a$	$b$	$c$	$α$	$β$	$γ$	$?$
参数值	-0.16	22.95	-6.53	1.17	24.94	-19.57	34.06

表6

表7

世界新能源汽车的模拟值与模拟误差"

年份	$x 0 k$	TDGM(1,1)		DGM(1,1)		GM(1,1)		NGM(1,1,k)
年份	$x 0 k$	$x ? k$	$Δ k k$	$x ? k$	$Δ k k$	$x ? k$	$Δ k$	$x ? k$	$Δ k k$
2013	21.50	—	—	—	—	—	—	—	—
2014	33.50	34.06	1.67%	58.41	74.37%	57.14	70.58%	32.04	4.35%
2015	68.90	64.93	5.76%	78.88	14.48%	77.14	11.96%	57.43	16.65%
2016	93.40	101.17	8.32%	106.51	14.03%	104.13	11.49%	88.31	5.45%
2017	139.90	143.72	2.73%	143.82	2.80%	140.57	0.48%	125.86	10.04%
2018	218.50	193.68	11.36%	194.20	11.12%	189.75	13.16%	171.52	21.50%
2019	228.40	252.32	10.47%	262.24	14.81%	256.15	12.15%	227.06	0.59%
2020	328.40	321.17	2.20%	354.10	7.83%	345.78	5.30%	294.59	10.29%
$Δ ˉ$			6.07%		19.92%		17.87%		9.84%

表7

表8

DGM（1，1）， GM（1，1）和 NGM（1，1）的参数值"

模型	DGM(1,1)	GM(1,1)	NGM(1,1,k)
参数值	$a = 1.35$	$a = - 0.30$	$a = - 0.20$
参数值	$b = 50.88$	$b = 42.33$	$b = 16.72$

表8

图3

图4

表9

参考文献 28

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